Cómo demostrar por contradicción, con ejemplos

La demostración por contradicción, o reducción al absurdo, es una forma de demostración equivalente a la que se hace regularmente. Se usa preferentemente cuando la propiedad a demostrar resulta tan intuitivamente cierta, que la mejor forma de probarla es mostrando la inconveniencia de no resultar cierta.

Los teoremas constan de dos partes: la Hipótesis y la Tesis, con la relación hipotesis \to tesis. De forma más coloquial, tenemos que si se cumplen las hipótesis entonces las tesis se tienen sin excepción.

La demostración por contradicción equivale a colocarse en el mal caso es decir: supongamos que tenemos las hipótesis pero no se tiene la tesis. Si lo que queremos demostrar es verdad, por contrarecíproca tendremos que no tesis implica no hipotesis, y como supusimos que se tenían las hipótesis, se llega a una contradicción.(breve repaso de lógica)

El esquema de demostración es el siguiente: Suponer

hip \wedge \sim tesis, y luego debe tenerse \sim tesis \to \sim hip

con lo que se llega a tener hip \wedge \sim hip contradicción.

Ejemplo: Demostremos es siguiente teorema basandonos en nuestro esquema.

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Teorema El conjunto vacio es subconjunto de todos los conjuntos

dem: ¿Donde están las hipótesis? Las hipótesis que tenemos son toda la teoría de conjuntos, que es la necesaria para afirmar que el conjunto vacio es subconjunto de todos.

supongamos que tenemos la teoría de conjuntos y no tememos la tesis, es decir, que el vacio no es subconjunto de algún conjunto A. Esto quiere decir, por definición, que el conjunto vacío tiene un elemento que no tiene el conjunto. esa es la contradicción, ya que el vacio no tiene elementos

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Este teorema es bonito y acá me luzco

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Problema Sea I un intervalo y f :I \rightarrow \mathbb{R} una función derivable tal que si f(x) >0 entonces f'(x) < o.  Pruebe que si f(x_0) \leq 0 para algún x_0 \in I entonces f(x) \leq 0 para todo x \in I tal que x \geq x_0.

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No es un problema fácil de cálculo diferencial., pero tratemos de abordarlo.

Como la derivada de f es negativa cuando f es mayor que cero, tenemos que la función es decreciente en todo ese tramo. Cuendo f deja de tomar valores positivos, la función ya no sufre de restricción alguna, por lo que se puede mover libremente. Hagamos el ejercicio de dibujar la función, partiendo de algún valor de f positivo. De este modo, obtendríamos el siguiente dibujo.

Bosquejo de la funciónfijense que en nuestro dibujo, cuando estamos en los valores negativos de f, no puede volver a tomar valores positivos, ya que veriamos que la función f tendría pendiente positiva para f mayor que cero. Es lo que dice el teorema: para f que cumple las hipotesis, existe un punto x_0 donde la función es menor que cero.

Como la propiedad parece evidente al realizar el dibujo, haremos la demostración por contradicción

supongamos que función cumple f(x) > o entonces f'(x) < o. y que no  cumple la tesis

(1) f(x_0) \leq 0   \Rightarrow f(x) \leq 0 para todo x tq x \geq x_0.

Recordemos que la negación de la implicancia p \Rightarrow q es p \wedge \sim q (es decir p no obliga a q). En este caso la negación resulta:

f(x_0) \leq 0   \wedge f(x_1) \geq 0 para algún x_1 \geq x_0.

Gráficamente


llegemos a la contradicción. Como f(x_0) \leq o \wedge f(x_1) \geq o. por TVI, exite un \bar x \in \left. [x_0,x_1 \right] tq f(\bar x)=0 . Note que la figura que entre \bar x y x_1 hay varios puntos con pendiente negativa.

Como la función es derivable, usamos el TVM en el intervalo \left. [x_0,x_1 \right]

\frac{f(x_1)-f(x_o)}{x_1 - x_o} = f'(\rho) con  \rho \in \left. [x_0,x_1 \right]

notando que x_1 - x_0 \geq 0 , f(x_o) \leq o y f(x_1) \geq 0 , concluimos que f'(\rho) \leq o.  Como \rho \geq x_0, llegamos a la contradiccion con (1). (hacer el repaso geométrico).

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Una respuesta a Cómo demostrar por contradicción, con ejemplos

  1. evaperu dice:

    gracias por magnifica explicación. Yo soy estudiante de economía y estos supuestos son base para un mejor entendimiento de mi carrera como un análisis económico.Estudia en una buena universidad, de nuestro estimado Jose de Gregorio que tuve oportunidad de conocer. Cuidese mucho y muchas gracias por tu blog

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