http://www.dim.uchile.cl/~fbravo/guias/EDO/tutorial%20espirales%20para%20SNL.pdf

Además, en el siguiente enlace pueden  graficar las soluciones de sistemas de ecuaciones,  y comprobar sus resultados cuando hagan ejercicios

http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

saludos

http://www.dim.uchile.cl/~fbravo/guias/EDO/Tutorial_formas_de_jordan_(3.1).pdf

Espero que sea de utilidad a más de algún estudiante curioso.

saludos

Libros:

http://algunoslibros.blogspot.com/2006/09/matematica.html

http://www.freebookcentre.net/

http://rinconmatematico.com/libros.htm

Solucionario de Libros:

http://soludelibros.blogspot.com/2008/01/solucionarios-matemtica.html

Buscador de libros:

http://www.4shared.com/ (recomendado)

http://www.pdf-search-engine.com (usar con astucia)

Foros:

http://www.fmat.cl/
http://rinconmatematico.com/

Material de cursos del M.I.T.

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/

Utilidad online (grafica, deriva, integra,…)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%2Blogx

¿Cuál es la idea intuitiva que tenemos de límite?

Bueno, sabemos (o intuimos) que el límite de converge a cero cuando n tiende a infinito. Pero sabemos que es distinto de cero para todo n mayor que uno. ¿Entonces? Ocurre que la sucesión  SE ACERCA LO MAS QUE PUEDE A 0, aunque increíblemente nunca llegue a tocarlo. Luego, el concepto de límite se refiere principalmente al concepto de que tan cerca se encontrara la sucesión a un punto de convergencia (llamado límite).

El primer concepto a considerar es que la distancia entre 2 números reales a y b se denota , que es el valor absoluto de la diferencia. Así la distancia entre un punto de la sucesión y su límite L (si es que existe) es .

Probablemente, esta distancia nunca llegue a ser cero (como en la sucesión 1/n), pero ciertamente los puntos deberían ir acercándose a su límite.

La definición formal de convergencia de la sucesión a un punto L es

Para todo , existe un , tal que para todo

O como se suele encontrar en los textos de cálculo, en un lenguaje formal:

¿Qué quiere decir realmente?

Dice: Para cualquier distancia que queramos ver del limite (), siempre podemos encontrar una posición en la sucesión (), de tal forma que todos los términos de la sucesión a partir de esta posición , caen dentro de esta vecindad del límite. Trata de asimilar esta descripción en palabras y entenderlo con la definición formal.

Ahora vamos a mostrar como funciona con la sucesión .

Grafiquemos la sucesión .

En esta imagen, los puntos corresponden a los términos de la sucesión, y la altura de estos puntos representa el valor de este término. Así, para n=1, la sucesión toma el valor 1, para n=2, el valor 0.5, para n=5, =0.2.

Podemos ver en la imagen que la sucesión se acerca gradualmente al valor cero (y como sabemos, nunca lo alcanza)

¿Cómo funciona la definición formal acá?

Supongamos que un compañero te pregunta ¿Desde que punto la sucesión no se aleja a más de 0,5 del valor cero? Al ver el dibujo, notamos que desde el término la sucesión no sube de 0,5.

¿Y desde qué término la sucesión no se aleja a lo más de 0,2 de cero? Viendo nuevamente el dibujo, podemos notar que desde el término en adelante no se supera la barrera impuesta (línea roja). También puedes decir que a partir del término 8; no tiene que ser necesariamente el término exacto (la definición formal no lo pide)

Y así hacia el infinito. Es decir, si tu compañero te pregunta ¿A partir de qué término no me alejo una distancia (con quiero decir cualquier distancia >0) del cero? tu siempre vas a poder encontrar una posición n a partir del cual la sucesión no se aleje. En términos matemáticos.

para todo , existe un tal que para todo , .

Esta definición, y la anterior discusión, no obliga a la sucesión a alcanzar su límite, pero sí la obliga a siempre acercarse tanto como queramos (o tanto como quiera tu compañero).

Con el dibujo queda claro, pero demostremos formalmente (o como debería ser en la prueba) que converge a 0.

¿Qué pasa si queremos que todos los puntos de la sucesión estén a una distancia menor o igual a 1? Bueno como todos los términos de la sucesión son menores o iguales que 1, después del término unésimo se cumple.

¿Qué pasa si queremos que todos los puntos de la sucesión estén a una distancia menor o igual que 1/10. Bueno notamos que para n=10, los términos son menores a 1/10. ()

¿Y si queremos que no se alejen a lo mas 1/100? Entonces notamos que los términos no se alejan de esa distancia después del punto n=100. ().

Ahora  te diste cuenta que para cualquier distancia que nos demos (digamos ) el punto necesario para cumplir la definición es darse el o mayor).

Pero la fórmula que les dí no está de todo correcta, pues para , , que no es natural. Pero no nos importa, pues no queremos un número exacto tal que todos las términos de la sucesión no se alejen, lo que queremos es uno que nos asegure que pase lo que queremos, así en vez de decir podemos decir simplemente , y cumplimos nuestro objetivo. Así, mejorando nuestro razonamiento

Para cualquiera, .  (Función parte entera).

on este ejemplo también notamos que el n elegido depende de , por eso en la definición de límite se suele colocar .

Hagamos la demostración como deberías colocarla en la prueba (lo que esta en paréntesis son indicaciones que no debes escribir).

Problema: demuestre que la sucesión converge a cero

Dem:

Sea (nos damos una distancia cualquiera, como la que te pregunta tu compañero).

Queremos encontrar un tal que para todo se tenga

.

trabajando esta expresión.

.

(Equivalentemente, el problema se reduce a encontrar  un que cumpla que para todo se tenga , lo cual se tiene si n cumple ).

eligiendo  se tiene lo pedido.

Problema: demuestre que la sucesión constante  converge a c.

Dem:

Sea .

 (¡¡la distancia entre la sucesión y su limite siempre es cero!!!)

Tomando n=1, se tiene lo pedido (o n igual cualquier cosa, total siempre estamos a una distancia menor que )

En este caso particular, la sucesión si alcanza su límite.

Ahora demostremos la siguiente propiedad, que nos permitirá justificar el álgebra de límites.

Propiedad: Sean y dos sucesiones tales que y . Entonces  .

Demostración:

Sea (la distancia fija que siempre nos debemos dar)

Como converge a , tenemos que para cualquier distancia que queramos, existe un tal que para , es menor que dicha distancia. Luego si la distancia que queremos es , existe un tal que para , .

Análogamente, para la sucesión , existe un (no necesariamente igual a , pues es un sucesión no necesariamente igual a ) tal que para .

Entonces para

 y .

De este modo , para todo .

Reordenando lo logrado, para todo .

.

Nota que la convergencia de nos asegura la existencia de , y la convergencia de asegura la de . Por lo tanto existe.

(recuerda que para , teniamos que demostrar la existencia de un n conveniente).

Eso es todo por ahora. Espero que les haya servido a muchos a entender esta belleza del lenguaje matematico.

Esta guía es una “exposición” de cómo se parametriza, que significa, y también incluye ejercicios resueltos

Las guías son un manuscrito de las clases auxiliares que realicé el año 2007

disfrutenla

http://www.dim.uchile.cl/~fbravo/guias/Calculo%20Diferencial/Parametrizacion.rar

Incluye preguntas desarrolladas completamente y ejercicios propuestos.

formato pdf

http://www.dim.uchile.cl/~fbravo/guias/Calculo%20Diferencial/Guia_de_Primitivas.pdf

saludos y disfrútenla

Lo primero que se tiene que tener claro es que estamos trabajando de forma simbólica. Por ejemplo, si tenemos un elemento , es el ELEMENTO TAL QUE AL MULTIPLICARLO CON A DÁ EL NEUTRO MULTIPLICATIVO.

Asi, es , pues . Esto no es nada del otro mundo para estudiantes de básica, pero notemos el sentido más profundo de esto.

Lo primero que uno debe preguntarse cuando le definen el inverso es ¿ Es este único?

Demostremos que el inverso multiplicativo es único

Sea A un número cualquiera, y sean B y C dos inversos multiplicativos cualquiera ¿Qué significaba esto?, que y . Luego

Como AB y AC son la misma cosa ( tienen igual valor), multiplicarlos por un mismo número debería dar el mismo resultado. Entonces multiplicamos ambos términos por B. Así

Usando la asociatividad de la multiplicación, tenemos que

Pero recordemos que B es el inverso de A, es decir (por definición) AB=1. Luego

Y como el número 1 se define en esta teoría como el neutro de la multiplicación, obtenemos que  . Como eran 2 inversos cualquiera, demostramos que es único

No parece difícil, pero fíjate que he usado todas las reglas que me da la axiomática (Asociatividad, elemento neutro, definiciones). No he usado nada sabido de antes.

Demostremos ahora la siguiente propiedad:

Propiedad

En este momento uno no sabe como empezar, porque parece obvio por lo que sabemos del colegio, pero fijemonos en lo siguiente

¿Qué significa ?

Recordemos que elevar a -1 es solamente un símbolo. El elemento es un número b que cumple . Pero tenemos que , por definición de . Luego, a ¡es el inverso multicativo de !, o dicho de otra manera,

Bueno, hemos encontado un elemento (a) que multiplicado por da 1. ¿Existirá otro?. Por supuesto que no, acabamos de demostrar que el inverso multiplicativo es único. Así que podemos decir con propiedad que a es realmente ÉL inverso, y concluir que .

Ya interiorizados con los conceptos demostremos la siguiente propiedad.

Propiedad

¿Qué queremos demostrar realmente? Queremos demostrar que

. Recuerda que eso significa el simbolo -1 sobre ab. Procedamos entonces (no voy a escribir los axiomas al lado de las operaciones, eso lo deben hacer uds)

Así, por la discusión anterior, demostramos lo deseado.

]]> http://profesordelta.wordpress.com/2010/03/29/demostraciones-en-intro-al-calculo/feed/ 4 profesordelta http://profesordelta.wordpress.com/2010/03/29/como-demostrar-por-contradiccion-con-ejemplos/ http://profesordelta.wordpress.com/2010/03/29/como-demostrar-por-contradiccion-con-ejemplos/#comments Mon, 29 Mar 2010 04:58:52 +0000 profesordelta http://profesordelta.wordpress.com/?p=16 ]]> La demostración por contradicción, o reducción al absurdo, es una forma de demostración equivalente a la que se hace regularmente. Se usa preferentemente cuando la propiedad a demostrar resulta tan intuitivamente cierta, que la mejor forma de probarla es mostrando la inconveniencia de no resultar cierta.

Los teoremas constan de dos partes: la Hipótesis y la Tesis, con la relación . De forma más coloquial, tenemos que si se cumplen las hipótesis entonces las tesis se tienen sin excepción.

La demostración por contradicción equivale a colocarse en el mal caso es decir: supongamos que tenemos las hipótesis pero no se tiene la tesis. Si lo que queremos demostrar es verdad, por contrarecíproca tendremos que no tesis implica no hipotesis, y como supusimos que se tenían las hipótesis, se llega a una contradicción.(breve repaso de lógica)

El esquema de demostración es el siguiente: Suponer

, y luego debe tenerse

con lo que se llega a tener contradicción.

Ejemplo: Demostremos es siguiente teorema basandonos en nuestro esquema.

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Teorema El conjunto vacio es subconjunto de todos los conjuntos

dem: ¿Donde están las hipótesis? Las hipótesis que tenemos son toda la teoría de conjuntos, que es la necesaria para afirmar que el conjunto vacio es subconjunto de todos.

supongamos que tenemos la teoría de conjuntos y no tememos la tesis, es decir, que el vacio no es subconjunto de algún conjunto A. Esto quiere decir, por definición, que el conjunto vacío tiene un elemento que no tiene el conjunto. esa es la contradicción, ya que el vacio no tiene elementos

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Este teorema es bonito y acá me luzco

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Problema Sea I un intervalo y f :I una función derivable tal que si entonces .  Pruebe que si para algún entonces para todo tal que .

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No es un problema fácil de cálculo diferencial., pero tratemos de abordarlo.

Como la derivada de f es negativa cuando f es mayor que cero, tenemos que la función es decreciente en todo ese tramo. Cuendo f deja de tomar valores positivos, la función ya no sufre de restricción alguna, por lo que se puede mover libremente. Hagamos el ejercicio de dibujar la función, partiendo de algún valor de f positivo. De este modo, obtendríamos el siguiente dibujo.

fijense que en nuestro dibujo, cuando estamos en los valores negativos de f, no puede volver a tomar valores positivos, ya que veriamos que la función f tendría pendiente positiva para f mayor que cero. Es lo que dice el teorema: para f que cumple las hipotesis, existe un punto donde la función es menor que cero.

Como la propiedad parece evidente al realizar el dibujo, haremos la demostración por contradicción

supongamos que función cumple entonces . y que no  cumple la tesis

(1)   para todo tq .

Recordemos que la negación de la implicancia es (es decir p no obliga a q). En este caso la negación resulta:

  para algún .

Gráficamente

llegemos a la contradicción. Como . por TVI, exite un tq . Note que la figura que entre y hay varios puntos con pendiente negativa.

Como la función es derivable, usamos el TVM en el intervalo

con 

notando que , y , concluimos que .  Como , llegamos a la contradiccion con (1). (hacer el repaso geométrico).

¿Qué sucede si la persona te responde que no es Chileno? ¿Podemos afirmar que no es Latinoamericano? Por supuesto que no. Porque podría ser Argentino o Peruano y ser Latinoamericano. Un error común que cometen muchas personas ajenas a la lógica es afirmar

no dice que

( donde es la negación de )en nuestro caso no ser Chileno no implica no ser Latinoamericano, ya que ser Peruano implica ser Latinoamericano

Por esto mismo la condición ser Chileno es condición suficiente, pero no es condición necesaria. es decir , no es NECESARIO ser chileno para ser LA.

Lo que si sabemos es que si una persona no es LA, entonces no es Argentino. Esto es lo que entendemos como contrarecíproca.

equivale a

Debido a estoy decimos que es LA es condición necesaria en la sentencia.

Si sabemos que alguien es LA, no podemos asegurar que sea Argentina (no es información suficiente) pero es una condición básica, una condición necesaria para serlo, que si no se cumple, no se puede tener que la persona sea Argentina.

Entender estos roles de condición suficiente y necesaria en una implicancia será la base para poder entender y aplicar el proceso de demostración por contradicción o reducción al absurdo que escribiré en el siguiente artículo