Demostraciones en Intro al Cálculo

marzo 29, 2010

En este artículo pretendo interpretar lo que signfican realmente todas esas propiedades y demostraciones que se hacen en el primer curso de cálculo que se hace al ingresar a la Universidad.

Lo primero que se tiene que tener claro es que estamos trabajando de forma simbólica. Por ejemplo, si tenemos un elemento a, a^{-1} es el ELEMENTO TAL QUE AL MULTIPLICARLO CON A DÁ EL NEUTRO MULTIPLICATIVO.

Asi, 2^{-1} es 0.5, pues 2*0,5=1 . Esto no es nada del otro mundo para estudiantes de básica, pero notemos el sentido más profundo de esto.

Lo primero que uno debe preguntarse cuando le definen el inverso es ¿ Es este único?

Demostremos que el inverso multiplicativo es único

Sea A un número cualquiera, y sean B y C dos inversos multiplicativos cualquiera ¿Qué significaba esto?, que AB=1 y AC=1. Luego

AB=AC

Como AB y AC son la misma cosa ( tienen igual valor), multiplicarlos por un mismo número debería dar el mismo resultado. Entonces multiplicamos ambos términos por B. Así

B(AB)=B(AC)

Usando la asociatividad de la multiplicación, tenemos que

(BA)B=(BA)C

Pero recordemos que B es el inverso de A, es decir (por definición) AB=1. Luego

(1)B=(1)C

Y como el número 1 se define en esta teoría como el neutro de la multiplicación, obtenemos que  B=C . Como eran 2 inversos cualquiera, demostramos que es único \square

No parece difícil, pero fíjate que he usado todas las reglas que me da la axiomática (Asociatividad, elemento neutro, definiciones). No he usado nada sabido de antes.

Demostremos ahora la siguiente propiedad:

Propiedad (a^{-1})^{-1}=a

En este momento uno no sabe como empezar, porque parece obvio por lo que sabemos del colegio, pero fijemonos en lo siguiente

¿Qué significa (a^{-1})^{-1}?

Recordemos que elevar a -1 es solamente un símbolo. El elemento (a^{-1})^{-1} es un número b que cumple a^{-1}*b=1. Pero tenemos que a^{-1}*a=1, por definición de a^{-1}. Luego, a ¡es el inverso multicativo de a^{-1}!, o dicho de otra manera, ((a^{-1})^{-1})=a

Bueno, hemos encontado un elemento (a) que multiplicado por a^{-1} da 1. ¿Existirá otro?. Por supuesto que no, acabamos de demostrar que el inverso multiplicativo es único. Así que podemos decir con propiedad que a es realmente ÉL inverso, y concluir que (a^{-1})^{-1})=a. \square

Ya interiorizados con los conceptos demostremos la siguiente propiedad.

Propiedad (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}

¿Qué queremos demostrar realmente? Queremos demostrar que

(ab)a^{-1}b^{-1}=1. Recuerda que eso significa el simbolo -1 sobre ab. Procedamos entonces (no voy a escribir los axiomas al lado de las operaciones, eso lo deben hacer uds)

(ab)a^{-1}b^{-1}=a(ba^{-1})b^{-1}

=a(a^{-1}b)b^{-1}

=(aa^{-1})(bb^{-1})

=1*1

=1

Así, por la discusión anterior, demostramos lo deseado. \square


Cómo demostrar por contradicción, con ejemplos

marzo 29, 2010

La demostración por contradicción, o reducción al absurdo, es una forma de demostración equivalente a la que se hace regularmente. Se usa preferentemente cuando la propiedad a demostrar resulta tan intuitivamente cierta, que la mejor forma de probarla es mostrando la inconveniencia de no resultar cierta.

Los teoremas constan de dos partes: la Hipótesis y la Tesis, con la relación hipotesis \to tesis. De forma más coloquial, tenemos que si se cumplen las hipótesis entonces las tesis se tienen sin excepción.

La demostración por contradicción equivale a colocarse en el mal caso es decir: supongamos que tenemos las hipótesis pero no se tiene la tesis. Si lo que queremos demostrar es verdad, por contrarecíproca tendremos que no tesis implica no hipotesis, y como supusimos que se tenían las hipótesis, se llega a una contradicción.(breve repaso de lógica)

El esquema de demostración es el siguiente: Suponer

hip \wedge \sim tesis, y luego debe tenerse \sim tesis \to \sim hip

con lo que se llega a tener hip \wedge \sim hip contradicción.

Ejemplo: Demostremos es siguiente teorema basandonos en nuestro esquema.

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Teorema El conjunto vacio es subconjunto de todos los conjuntos

dem: ¿Donde están las hipótesis? Las hipótesis que tenemos son toda la teoría de conjuntos, que es la necesaria para afirmar que el conjunto vacio es subconjunto de todos.

supongamos que tenemos la teoría de conjuntos y no tememos la tesis, es decir, que el vacio no es subconjunto de algún conjunto A. Esto quiere decir, por definición, que el conjunto vacío tiene un elemento que no tiene el conjunto. esa es la contradicción, ya que el vacio no tiene elementos

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Este teorema es bonito y acá me luzco

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Problema Sea I un intervalo y f :I \rightarrow \mathbb{R} una función derivable tal que si f(x) >0 entonces f'(x) < o.  Pruebe que si f(x_0) \leq 0 para algún x_0 \in I entonces f(x) \leq 0 para todo x \in I tal que x \geq x_0.

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No es un problema fácil de cálculo diferencial., pero tratemos de abordarlo.

Como la derivada de f es negativa cuando f es mayor que cero, tenemos que la función es decreciente en todo ese tramo. Cuendo f deja de tomar valores positivos, la función ya no sufre de restricción alguna, por lo que se puede mover libremente. Hagamos el ejercicio de dibujar la función, partiendo de algún valor de f positivo. De este modo, obtendríamos el siguiente dibujo.

Bosquejo de la funciónfijense que en nuestro dibujo, cuando estamos en los valores negativos de f, no puede volver a tomar valores positivos, ya que veriamos que la función f tendría pendiente positiva para f mayor que cero. Es lo que dice el teorema: para f que cumple las hipotesis, existe un punto x_0 donde la función es menor que cero.

Como la propiedad parece evidente al realizar el dibujo, haremos la demostración por contradicción

supongamos que función cumple f(x) > o entonces f'(x) < o. y que no  cumple la tesis

(1) f(x_0) \leq 0   \Rightarrow f(x) \leq 0 para todo x tq x \geq x_0.

Recordemos que la negación de la implicancia p \Rightarrow q es p \wedge \sim q (es decir p no obliga a q). En este caso la negación resulta:

f(x_0) \leq 0   \wedge f(x_1) \geq 0 para algún x_1 \geq x_0.

Gráficamente


llegemos a la contradicción. Como f(x_0) \leq o \wedge f(x_1) \geq o. por TVI, exite un \bar x \in \left. [x_0,x_1 \right] tq f(\bar x)=0 . Note que la figura que entre \bar x y x_1 hay varios puntos con pendiente negativa.

Como la función es derivable, usamos el TVM en el intervalo \left. [x_0,x_1 \right]

\frac{f(x_1)-f(x_o)}{x_1 - x_o} = f'(\rho) con  \rho \in \left. [x_0,x_1 \right]

notando que x_1 - x_0 \geq 0 , f(x_o) \leq o y f(x_1) \geq 0 , concluimos que f'(\rho) \leq o.  Como \rho \geq x_0, llegamos a la contradiccion con (1). (hacer el repaso geométrico).


Condición necesaria y suficiente

marzo 29, 2010

Una implicación es una sentencia de la forma p \rightarrow q  que nos dice que si se cumple la condición p  , entonces resulta inevitable tener como resultado q. Por ejemplo la sentencia lógica “Si soy Chileno entonces soy Latinoamericano” es verdadera. ¿Cómo funciona? Fácil. Si necesitas saber si una persona es Latinoamericana(LA), basta con preguntarle si es chileno. Si la persona es Chilena, entonces sabes inmediatamente que es Latinoamericano. Esto quiere decir que para saber si una persona es LA, es suficiente saber que es chilena. Por eso decimos que la proposición p es condición suficiente en la implicancia.

¿Qué sucede si la persona te responde que no es Chileno? ¿Podemos afirmar que no es Latinoamericano? Por supuesto que no. Porque podría ser Argentino o Peruano y ser Latinoamericano. Un error común que cometen muchas personas ajenas a la lógica es afirmar

p \to q no dice que \sim p \to \sim q

( donde \sim p es la negación de p)en nuestro caso no ser Chileno no implica no ser Latinoamericano, ya que ser Peruano implica ser Latinoamericano

Por esto mismo la condición ser Chileno es condición suficiente, pero no es condición necesaria. es decir , no es NECESARIO ser chileno para ser LA.

Lo que si sabemos es que si una persona no es LA, entonces no es Argentino. Esto es lo que entendemos como contrarecíproca.

Arg \to La equivale a \sim LA \to \sim Arg

Debido a estoy decimos que es LA es condición necesaria en la sentencia.

Arg \to La

Si sabemos que alguien es LA, no podemos asegurar que sea Argentina (no es información suficiente) pero es una condición básica, una condición necesaria para serlo, que si no se cumple, no se puede tener que la persona sea Argentina.

Entender estos roles de condición suficiente y necesaria en una implicancia será la base para poder entender y aplicar el proceso de demostración por contradicción o reducción al absurdo que escribiré en el siguiente artículo