Demostraciones en Intro al Cálculo

En este artículo pretendo interpretar lo que signfican realmente todas esas propiedades y demostraciones que se hacen en el primer curso de cálculo que se hace al ingresar a la Universidad.

Lo primero que se tiene que tener claro es que estamos trabajando de forma simbólica. Por ejemplo, si tenemos un elemento a, a^{-1} es el ELEMENTO TAL QUE AL MULTIPLICARLO CON A DÁ EL NEUTRO MULTIPLICATIVO.

Asi, 2^{-1} es 0.5, pues 2*0,5=1 . Esto no es nada del otro mundo para estudiantes de básica, pero notemos el sentido más profundo de esto.

Lo primero que uno debe preguntarse cuando le definen el inverso es ¿ Es este único?

Demostremos que el inverso multiplicativo es único

Sea A un número cualquiera, y sean B y C dos inversos multiplicativos cualquiera ¿Qué significaba esto?, que AB=1 y AC=1. Luego

AB=AC

Como AB y AC son la misma cosa ( tienen igual valor), multiplicarlos por un mismo número debería dar el mismo resultado. Entonces multiplicamos ambos términos por B. Así

B(AB)=B(AC)

Usando la asociatividad de la multiplicación, tenemos que

(BA)B=(BA)C

Pero recordemos que B es el inverso de A, es decir (por definición) AB=1. Luego

(1)B=(1)C

Y como el número 1 se define en esta teoría como el neutro de la multiplicación, obtenemos que  B=C . Como eran 2 inversos cualquiera, demostramos que es único \square

No parece difícil, pero fíjate que he usado todas las reglas que me da la axiomática (Asociatividad, elemento neutro, definiciones). No he usado nada sabido de antes.

Demostremos ahora la siguiente propiedad:

Propiedad (a^{-1})^{-1}=a

En este momento uno no sabe como empezar, porque parece obvio por lo que sabemos del colegio, pero fijemonos en lo siguiente

¿Qué significa (a^{-1})^{-1}?

Recordemos que elevar a -1 es solamente un símbolo. El elemento (a^{-1})^{-1} es un número b que cumple a^{-1}*b=1. Pero tenemos que a^{-1}*a=1, por definición de a^{-1}. Luego, a ¡es el inverso multicativo de a^{-1}!, o dicho de otra manera, ((a^{-1})^{-1})=a

Bueno, hemos encontado un elemento (a) que multiplicado por a^{-1} da 1. ¿Existirá otro?. Por supuesto que no, acabamos de demostrar que el inverso multiplicativo es único. Así que podemos decir con propiedad que a es realmente ÉL inverso, y concluir que (a^{-1})^{-1})=a. \square

Ya interiorizados con los conceptos demostremos la siguiente propiedad.

Propiedad (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}

¿Qué queremos demostrar realmente? Queremos demostrar que

(ab)a^{-1}b^{-1}=1. Recuerda que eso significa el simbolo -1 sobre ab. Procedamos entonces (no voy a escribir los axiomas al lado de las operaciones, eso lo deben hacer uds)

(ab)a^{-1}b^{-1}=a(ba^{-1})b^{-1}

=a(a^{-1}b)b^{-1}

=(aa^{-1})(bb^{-1})

=1*1

=1

Así, por la discusión anterior, demostramos lo deseado. \square

15 respuestas a Demostraciones en Intro al Cálculo

  1. Christopher Pereda Paredes dice:

    Hola, bueno soy un estudiante de Ing. Agro-industrial y estoy llevando por primera vez matemática I, y estoy buscando algunas demostraciones de teoremas pero no logro entenderlas en cambio las demostraciones presentadas aquí las entendí ale perfección y me sirvieron de mucho, quisiera saber como puedo probar o demostrar que el elemento neutro multiplicativo es único, gracias.

  2. muchas gracias por el comentario. Eso es lo que me motivo a escribir este blog, que tenia un poco botado.

    Demostrar que el neutro multiplicativo es único no es difícil, usa la misma idea que expuse para demostrar que el inverso es unico.

    Toma un elemento cualquiera distinto de cero, llamado B. Supon que existen 2 elementos neutros, llamados 1 y @. Por definición de neutros tenemos que B*1=B y B*@=B (sino no serian neutros =P). Como ambas expresiones son iguales a B , tenemos que

    B*1=B*@

    como B*1 y B*@ son iguales, si los multiplico por el mismo numero la igualdad no debería cambiar. Luego multiplico ambos números por el inverso de B, que denotamos 1/B

    (1/B)(B*1)=(1/B)(B*@)

    usando asociatividad, tengo que

    (B/B)*1=(B/B)*@

    como B por su inverso (1/B) es igual a un neutro, tenemos que B/B=1. así

    1*1=1*@

    como 1 es un neutro,por definición tenemos que 1*1=1 y 1*@=@, luego, concluimos que

    1=@

    Luego, siempre que nos demos 2 elementos que cumplen la propiedad del neutro, necesariamente son iguales

    Espero que haya sido igual de claro. Si te quedaron dudas, consulta nomas =)

  3. Ab Velasco dice:

    hola!!! tengo una duda, espero que me puedan ayudar!

    Si A es un anillo conmutativo con 1, y u,v ∈ A tienen inverso multiplicativo, entonces uv ∈A tambien tiene inverso multiplicativo.

    • si quieres probar que uv tiene inverso multiplicativo, tienes que mostrar un elemento x que pertenezca al conjunto A, tal que uv*x=x*uv=1 . En la última propiedad de esta entrada, se demuestra que (uv)^{-1}=u^{-1}v^{-1}. Es decir, ya tenemos una expresión para el inverso de uv, que es u^{-1}v^{-1}. Como por hipótesis tenemos que u^{-1} y v^{-1} existen (y pertenecen a A) luego u^{-1}v^{-1} \in A, pues como es anillo, es cerrado para la multiplicación.

      Es importante el hecho de mostrar que el inverso de un elemento pertenece al conjunto que estamos estudiando. Por ejemplo, el número 2 pertenece al conjunto de los números naturales, pero su inverso es 0.5, número que no es natural.

      saludos y gracias.

  4. P. Suarez dice:

    hola no se si me puedas ayudar con esto:
    pruebe que si A es un numero racional diferente de cero y B es un numero irracional entonces A+B es irracional

    te agradeseria mucho que me ayudaras

    • Primero, siempre debemos tener presente lo que queremos demostrar. Si nos dicen demuestra que tal cosa es X, debemos saber ‘que es lo que define a X‘.

      En este caso, un número racional es aquel que puede ser expresado como el cuociente m/n, con n y m enteros y n distinto de cero. Un número irracional es aquel que no puede ser escrito así. Con esta definicion, uno puede demostrar facilmente que ‘la suma de 2 racionales es racional’. Es fácil de demostrar porque manejar números racionales es fácil.

      El problema que me planteas es más complejo, porque debemos demostrar que la suma es irracional, que son más difíciles de tratar. Por lo tanto, como vi en una entrada pasada, vamos a demostrar por contradicción.

      Sea a un número racional y r uno irracional y supongamos que la suma es racional. Bajo esta suposición,

      a+r=\frac{m}{n}

      pero como a es racional, podemos escribirlo como \frac{p}{q}, con p,q enteros, y q distinto de cero, asi

      \frac{p}{q} + r = \frac{m}{n}

      con lo que llegamos a

      r= \frac{qm-np}{qn}

      Con lo que se muestra que r es racional, lo que es una contradicción. Saludos

  5. Frankeuu dice:

    Buenas, me gustaria saber como demuestro que el inverso de a/b “con a y b distinto de 0” es unico excepto amplificaciones.

    Saludos

    • en esta misma entrada y en los mismos comentarios se ha demostrado que el inverso multiplicativo es único, independiente si el numero es racional , iracional, etc… (tb es valido para los numeros complejos pues cumplen asociatividad). Solo basta demostrar que una fraccion es a todas sus amplificaciones, y eso es casi directo. saludos

  6. con respecto a la respuesta del comentario anterior de Suarez me gustaria saber como llego al ultimo resultado , siempre me han complicado las fracciones y no se como pudo llegar a r=pn-qm/qn
    le agradeceria

    • tenemos que \frac{p}{q}+r=\frac{m}{n}.
      restando a ambos lados de la ecuación el término \frac{p}{q} se obtiene

      r=\frac{m}{n}-\frac{p}{q}

      para sumar 2 fracciones, estas deben tener igual denominador. amplificando la primera fración por q y la segunda por n queda

      r=\frac{mq}{nq}-\frac{np}{nq}

      ahora, como lasfracciones tienen igual denominador, se llega a

      r=\frac{mq-np}{nq}

  7. iker dice:

    hola buenaas tardes me podrian ayudar a demostrar que el neutro ditivo es unico gracias

    • La demostración es la misma que la de la unicidad del neutro multiplicativo que escribi más arriba. Basta que cambies la operación multiplicación por la suma, y el neutro multiplicativo por el neutro aditivo. El concepto detrás de la demostración es el mismo asi que te recomiendo que releas la entrada

      saludos

  8. zuriel dice:

    como puedo demostrar que a>b y b>c si solo si a>c

  9. geovanni adrian sandoval rodriguez dice:

    buenas tardes, me podría ayudar con un problema?
    como puiedo demostrar que si x = p + \sqrt{q},con p y q números racionales, entonces para todo m natural se tiene que x^m = a+b\sqrt{q}, con a y b números racionales.
    espero me pueda ayudar

    • Buenas tardes,
      Una forma de resolver este problema es usando induccion matematica. Esto se hace asi:
      1ro) demostrar que la propiedad a demostrar se cumple para un caso particular, por ejemplo, para m= 2

      x^2 = (p +\sqrt{q}q)^2 = \underbrace{p^2 + q^2}_{a \in Q} + \underbrace{2p}_{b \in Q}\sqrt{q}

      aca la propiedad se cumple pues un racional al cuadrado es un racional, y suma de racionales es racional

      2do) Demostrar que si la propiedad se cumple para m entonces se cumple para m+1

      Sea x = (p + \sqrt{q}). Para probar que la propiedad se cumple para m+1 notamos que

      x^{m+1} = x(x^m)

      Como asumimos que la propiedad se cumple para x^m se tiene que

      x^{m+1} = x(x^m) = (\underbrace{p + \sqrt{q}}_{x}) (\underbrace{a + b\sqrt{q}}_{x^m}) = (\underbrace{pa + bq}_{a'} + \underbrace{(1+b)}_{b'}\sqrt{q})

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