Sentido de giro para espirales en Análisis Cualitativo de SEDO

septiembre 7, 2011

En esta entrada dejo a disposición un completo tutorial para poder determinar la forma que tienen los puntos críticos espirales

http://www.dim.uchile.cl/~fbravo/guias/EDO/tutorial%20espirales%20para%20SNL.pdf

Además, en el siguiente enlace pueden  graficar las soluciones de sistemas de ecuaciones,  y comprobar sus resultados cuando hagan ejercicios

http://math.rice.edu/~dfield/dfpp.html

saludos


Definición de convergencia de sucesiones

junio 1, 2010

La definición de convergencia permite formalizar toda la idea intuitiva que tenemos de límite de números, para así poder utilizar y manipular límites (álgebra de límites)

¿Cuál es la idea intuitiva que tenemos de límite?

Bueno, sabemos (o intuimos) que el límite de \frac{1}{n} converge a cero cuando n tiende a infinito. Pero sabemos que \frac{1}{n} es distinto de cero para todo n mayor que uno. ¿Entonces? Ocurre que la sucesión \frac{1}{n} SE ACERCA LO MAS QUE PUEDE A 0, aunque increíblemente nunca llegue a tocarlo. Luego, el concepto de límite se refiere principalmente al concepto de que tan cerca se encontrara la sucesión a un punto de convergencia (llamado límite).

El primer concepto a considerar es que la distancia entre 2 números reales a y b se denota |a-b|, que es el valor absoluto de la diferencia. Así la distancia entre un punto x_n de la sucesión y su límite L (si es que existe) es |x_n-L|.

Probablemente, esta distancia nunca llegue a ser cero (como en la sucesión 1/n), pero ciertamente los puntos deberían ir acercándose a su límite.

La definición formal de convergencia de la sucesión x_n a un punto L es

Para todo \epsilon >0, existe un \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N}, tal que para todo n > n_{\epsilon} ,\ |x_n -L|< \epsilon

O como se suele encontrar en los textos de cálculo, en un lenguaje formal:

\forall \epsilon >0 ,\ \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{N} :\ \forall n>n_{\epsilon} ,\ |x_n - L|< \epsilon

¿Qué quiere decir realmente?

Dice: Para cualquier distancia que queramos ver del limite (\epsilon), siempre podemos encontrar una posición en la sucesión (n_{\epsilon}), de tal forma que todos los términos de la sucesión a partir de esta posición n_{\epsilon}, caen dentro de esta vecindad del límite. Trata de asimilar esta descripción en palabras y entenderlo con la definición formal.

Ahora vamos a mostrar como funciona con la sucesión \frac{1}{n}.

Grafiquemos la sucesión x_n=\frac{1}{n}.

En esta imagen, los puntos corresponden a los términos de la sucesión, y la altura de estos puntos representa el valor de este término. Así, para n=1, la sucesión toma el valor 1, para n=2, el valor 0.5, para n=5, x_5=0.2.

Podemos ver en la imagen que la sucesión se acerca gradualmente al valor cero (y como sabemos, nunca lo alcanza)

¿Cómo funciona la definición formal acá?

Supongamos que un compañero te pregunta ¿Desde que punto la sucesión x_n no se aleja a más de 0,5 del valor cero? Al ver el dibujo, notamos que desde el término x_2 la sucesión no sube de 0,5.

¿Y desde qué término la sucesión no se aleja a lo más de 0,2 de cero? Viendo nuevamente el dibujo, podemos notar que desde el término x_6 en adelante no se supera la barrera impuesta (línea roja). También puedes decir que a partir del término 8; no tiene que ser necesariamente el término exacto (la definición formal no lo pide)

Y así hacia el infinito. Es decir, si tu compañero te pregunta ¿A partir de qué término no me alejo una distancia \epsilon (con \epsilon quiero decir cualquier distancia >0) del cero? tu siempre vas a poder encontrar una posición n a partir del cual la sucesión no se aleje. En términos matemáticos.

para todo \epsilon >0, existe un n_e tal que para todo n > n_{\epsilon}, x_n <\epsilon.

Esta definición, y la anterior discusión, no obliga a la sucesión a alcanzar su límite, pero sí la obliga a siempre acercarse tanto como queramos (o tanto como quiera tu compañero).

Con el dibujo queda claro, pero demostremos formalmente (o como debería ser en la prueba) que x_n=1/n converge a 0.

¿Qué pasa si queremos que todos los puntos de la sucesión estén a una distancia menor o igual a 1? Bueno como todos los términos de la sucesión son menores o iguales que 1, después del término unésimo se cumple.

¿Qué pasa si queremos que todos los puntos de la sucesión estén a una distancia menor o igual que 1/10. Bueno notamos que para n=10, los términos son menores a 1/10. (x_{10}=\frac{1}{10})

¿Y si queremos que no se alejen a lo mas 1/100? Entonces notamos que los términos no se alejan de esa distancia después del punto n=100. (x_{100}=\frac{1}{100}).

Ahora  te diste cuenta que para cualquier distancia que nos demos (digamos \epsilon) el punto necesario para cumplir la definición es darse el n=\frac{1}{\epsilon} o mayor).

Pero la fórmula que les dí no está de todo correcta, pues para \epsilon=0.013 , n=\frac{1000}{13}=76,9230769, que no es natural. Pero no nos importa, pues no queremos un número exacto tal que todos las términos de la sucesión no se alejen, lo que queremos es uno que nos asegure que pase lo que queremos, así en vez de decir 76,9230769 podemos decir simplemente n=77, y cumplimos nuestro objetivo. Así, mejorando nuestro razonamiento

Para \epsilon cualquiera, n_{\epsilon}=[\frac{1}{\epsilon}].  (Función parte entera).

on este ejemplo también notamos que el n elegido depende de \epsilon, por eso en la definición de límite se suele colocar n_{\epsilon}.

Hagamos la demostración como deberías colocarla en la prueba (lo que esta en paréntesis son indicaciones que no debes escribir).

Problema: demuestre que la sucesión x_n=\frac{1}{n} converge a cero

Dem:

Sea \epsilon >0 (nos damos una distancia cualquiera, como la que te pregunta tu compañero).

Queremos encontrar un n_{\epsilon} tal que para todo n>n_{\epsilon} se tenga

|x_n-0|< \epsilon.

trabajando esta expresión.

|x_n-0|=|\frac{1}{n}|<\epsilon = \frac{1}{n}<\epsilon .

(Equivalentemente, el problema se reduce a encontrar  un n_{\epsilon} que cumpla que para todo n>n_e se tenga \frac{1}{n}< \epsilon, lo cual se tiene si n cumple \frac{1}{\epsilon} <n).

eligiendo n_{\epsilon}=[\frac{1}{e}] se tiene lo pedido.

\square

Problema: demuestre que la sucesión constante a_n=c  converge a c.

Dem:

Sea \epsilon >0.

|a_n-c|=|c-c|=0<\epsilon  (¡¡la distancia entre la sucesión y su limite siempre es cero!!!)

Tomando n=1, se tiene lo pedido (o n igual cualquier cosa, total siempre estamos a una distancia menor que \epsilon)

\square

En este caso particular, la sucesión si alcanza su límite.

Ahora demostremos la siguiente propiedad, que nos permitirá justificar el álgebra de límites.

Propiedad: Sean a_n y b_n dos sucesiones tales que a_n\xrightarrow[n\rightarrow{}\infty]\,{a} y b_n\xrightarrow[n\rightarrow{}\infty]\,{b}. Entonces  a_n+b_n\xrightarrow[n\rightarrow{}\infty]\,{a+b}.

Demostración:

Sea \epsilon>0 (la distancia fija que siempre nos debemos dar)

|a_n+b_n-(a+b)|=|(a_n-a)+(b_n-b)|<|a_n-a|+|bn-b|

Como a_n converge a a, tenemos que para cualquier distancia que queramos, existe un n^{*} tal que para n>n^* , |a_n-a| es menor que dicha distancia. Luego si la distancia que queremos es \frac{\epsilon}{2}, existe un n_1 tal que para n > n_1 , |a_n-a| < \frac{\epsilon}{2}.

Análogamente, para la sucesión b_n, existe un n_2 (no necesariamente igual a n_1, pues b_n es un sucesión no necesariamente igual a a_n) tal que para n > n_2 ,\ |b_n-b|<\frac{\epsilon}{2}.

Entonces para n_3=max(n_1,n_2)

|a_n-a|< \frac{\epsilon}{2}  y |b_n-b|<\frac{\epsilon}{2}.

De este modo , para todo n>n_3.

|a_n-a|+|b_n-b| < \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2} =\epsilon

Reordenando lo logrado, para todo n>n_3.

|a_n+b_n-(a+b)| =|a_n-a+b_n-b| <|a_n-a|+|b_n-b| < \epsilon.

\square

Nota que la convergencia de a_n nos asegura la existencia de n_1, y la convergencia de b_n asegura la de n_2. Por lo tanto n_3=\max(n_1,n_2) existe.

(recuerda que para \epsilon , teniamos que demostrar la existencia de un n conveniente).

Eso es todo por ahora. Espero que les haya servido a muchos a entender esta belleza del lenguaje matematico.


Demostraciones en Intro al Cálculo

marzo 29, 2010

En este artículo pretendo interpretar lo que signfican realmente todas esas propiedades y demostraciones que se hacen en el primer curso de cálculo que se hace al ingresar a la Universidad.

Lo primero que se tiene que tener claro es que estamos trabajando de forma simbólica. Por ejemplo, si tenemos un elemento a, a^{-1} es el ELEMENTO TAL QUE AL MULTIPLICARLO CON A DÁ EL NEUTRO MULTIPLICATIVO.

Asi, 2^{-1} es 0.5, pues 2*0,5=1 . Esto no es nada del otro mundo para estudiantes de básica, pero notemos el sentido más profundo de esto.

Lo primero que uno debe preguntarse cuando le definen el inverso es ¿ Es este único?

Demostremos que el inverso multiplicativo es único

Sea A un número cualquiera, y sean B y C dos inversos multiplicativos cualquiera ¿Qué significaba esto?, que AB=1 y AC=1. Luego

AB=AC

Como AB y AC son la misma cosa ( tienen igual valor), multiplicarlos por un mismo número debería dar el mismo resultado. Entonces multiplicamos ambos términos por B. Así

B(AB)=B(AC)

Usando la asociatividad de la multiplicación, tenemos que

(BA)B=(BA)C

Pero recordemos que B es el inverso de A, es decir (por definición) AB=1. Luego

(1)B=(1)C

Y como el número 1 se define en esta teoría como el neutro de la multiplicación, obtenemos que  B=C . Como eran 2 inversos cualquiera, demostramos que es único \square

No parece difícil, pero fíjate que he usado todas las reglas que me da la axiomática (Asociatividad, elemento neutro, definiciones). No he usado nada sabido de antes.

Demostremos ahora la siguiente propiedad:

Propiedad (a^{-1})^{-1}=a

En este momento uno no sabe como empezar, porque parece obvio por lo que sabemos del colegio, pero fijemonos en lo siguiente

¿Qué significa (a^{-1})^{-1}?

Recordemos que elevar a -1 es solamente un símbolo. El elemento (a^{-1})^{-1} es un número b que cumple a^{-1}*b=1. Pero tenemos que a^{-1}*a=1, por definición de a^{-1}. Luego, a ¡es el inverso multicativo de a^{-1}!, o dicho de otra manera, ((a^{-1})^{-1})=a

Bueno, hemos encontado un elemento (a) que multiplicado por a^{-1} da 1. ¿Existirá otro?. Por supuesto que no, acabamos de demostrar que el inverso multiplicativo es único. Así que podemos decir con propiedad que a es realmente ÉL inverso, y concluir que (a^{-1})^{-1})=a. \square

Ya interiorizados con los conceptos demostremos la siguiente propiedad.

Propiedad (ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}

¿Qué queremos demostrar realmente? Queremos demostrar que

(ab)a^{-1}b^{-1}=1. Recuerda que eso significa el simbolo -1 sobre ab. Procedamos entonces (no voy a escribir los axiomas al lado de las operaciones, eso lo deben hacer uds)

(ab)a^{-1}b^{-1}=a(ba^{-1})b^{-1}

=a(a^{-1}b)b^{-1}

=(aa^{-1})(bb^{-1})

=1*1

=1

Así, por la discusión anterior, demostramos lo deseado. \square


Condición necesaria y suficiente

marzo 29, 2010

Una implicación es una sentencia de la forma p \rightarrow q  que nos dice que si se cumple la condición p  , entonces resulta inevitable tener como resultado q. Por ejemplo la sentencia lógica “Si soy Chileno entonces soy Latinoamericano” es verdadera. ¿Cómo funciona? Fácil. Si necesitas saber si una persona es Latinoamericana(LA), basta con preguntarle si es chileno. Si la persona es Chilena, entonces sabes inmediatamente que es Latinoamericano. Esto quiere decir que para saber si una persona es LA, es suficiente saber que es chilena. Por eso decimos que la proposición p es condición suficiente en la implicancia.

¿Qué sucede si la persona te responde que no es Chileno? ¿Podemos afirmar que no es Latinoamericano? Por supuesto que no. Porque podría ser Argentino o Peruano y ser Latinoamericano. Un error común que cometen muchas personas ajenas a la lógica es afirmar

p \to q no dice que \sim p \to \sim q

( donde \sim p es la negación de p)en nuestro caso no ser Chileno no implica no ser Latinoamericano, ya que ser Peruano implica ser Latinoamericano

Por esto mismo la condición ser Chileno es condición suficiente, pero no es condición necesaria. es decir , no es NECESARIO ser chileno para ser LA.

Lo que si sabemos es que si una persona no es LA, entonces no es Argentino. Esto es lo que entendemos como contrarecíproca.

Arg \to La equivale a \sim LA \to \sim Arg

Debido a estoy decimos que es LA es condición necesaria en la sentencia.

Arg \to La

Si sabemos que alguien es LA, no podemos asegurar que sea Argentina (no es información suficiente) pero es una condición básica, una condición necesaria para serlo, que si no se cumple, no se puede tener que la persona sea Argentina.

Entender estos roles de condición suficiente y necesaria en una implicancia será la base para poder entender y aplicar el proceso de demostración por contradicción o reducción al absurdo que escribiré en el siguiente artículo